Toán chuyên đề Lũy thừa 6

 Hãy giúp em !

     100⁞9

= (99 +1) ⁞9

              = [99 + (9:9)] ⁞9

              => 100⁞9 ? 

                               Em sai ở đâu ?

Số lũy thừa chia hết

Chứng minh  A = 2¹ +2²+2³+2⁴+…+¹²⁰    ⁞7,31.217.

a. A = 21+22+...+2120

A = 2(1+2+4)+24(1+2+4)+...+2118(1+2+4)
A = 2.7+24.7+...+2118.7
A ⋮ 7 (đccm)

b. Tương tự ở đây ta cũng nhóm tương tự cách ở phần a.
A = 21+22+...+2120
A = 2(1+2+4+8+16)+26(1+2+4+8+16)+...+2116(1+2+4+8+16)
A = 2.31+24.31+...+2116.31
A ⋮ 31 (đccm)

c. 217 = 31.7

Tính:

( 2¹⁰⁰  + 2¹⁰¹  + 2¹⁰² ) : (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  )

= ( 2^{97 + 3}  + 2^{98 + 3}  + 2^{99 + 3} ) : (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  )

= ( 2³.2⁹⁷   + 2^3.2⁹⁸   + 2^3.2⁹⁹  ) : (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  )

= 2³ .(2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  ) : (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  )

= 8.(2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  ) : (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹  )

= 8

Tìm x

Tìm x thuộc N biết:

1³+2³+3³+ …+10³= (x+1)²

Ta có:

* 1³+ 2³ = 1 + 8 = 9 =  3²  = (1+ 2 )²

* 1³+2³+3³= 1 + 8 + 27 = 36 = 6² =(1+2+3 )²

*1³+2³+3³+4³= 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10² = ( 1+2+3+4)²

=> 1³+2³+3³+ …+10³ = (1+ 2+3+…+10)²

=> 55² = (x+1)²

=> 55 = x+1

=> x = 54

Vậy x = 54.

Tìm x biết:

1+3+5+7+...+x = 100

Ta có:

1+3 = 4 = 2²

1+3 + 5= 9 = 3²

1+3 +5 +7 = 16 = 4²

1+3 +5+7+… x = 100

Số số hạng:

[(x - 1):2 + 1]² = 10²

=> (x - 1):2 + 1 = 10

=> (x - 1):2 = 9

x- 1 = 18 

=> x = 19

Vậy x= 19. 

Tìm x thuộc N biết:

1+3 +5 +7+...+99 = (x-2)²

1+3+5+7+...+ 99 = (x-2)²

*Cách 1:
Ta có:

1+3+5+7+...+ 99 =

Số các số hạng = (99 - 1):2 + 1 = 50

Tổng các số hạng = 

= [(1+99).50:2] = 50.50

=> 50² = (x-2)²

=> 50 = x-2

=> x = 52

Vậy x = 52.
* Cách 2:

1+3 = 4 = 2²

1+3 + 5= 9 = 3²

1+3 +5 +7 = 16 = 4²

1+3 +5+7+… 99 = 50²

[(99 - 1):2 + 1]² = (x-2)²

=> 50² = (x-2)²

=> 50 = x-2

=> x = 52

Vậy x = 52.

Chuyên đề so sánh hai số

 So sánh hai số:

3⁵⁰⁰  và 7³⁰⁰

3⁵⁰⁰  = 3^{5. 100}  = (3⁵ )¹⁰⁰ = 243 ¹⁰⁰

7³⁰⁰  =  7^3.100 = ((7³ )¹⁰⁰= (343)¹⁰⁰

Vì: 243 ¹⁰⁰  < (343)¹⁰⁰

So sánh 31^{11 và} 17¹⁴

31¹¹ < 32¹¹   = ( 2⁵)¹¹ = 2⁵⁵

17¹⁴ >16¹⁴=( 2⁴)¹⁴ = 2⁵⁶

=> 2⁵⁶   > 2⁵⁵
=>17¹⁴ > 31¹¹

Vậy 17¹⁴ > 31¹¹

So sánh:

8⁵ và 3.4⁷

Ta có:

8⁵ = (2³)⁵ = 2¹⁵ =2.2¹⁴ <  3.2¹⁴ = 3.4⁷ 

Vậy 8⁵ < 3.4^7.

^{Chuyên đề - tính tổng Sn}

Tính tổng: Sn = 1 + a + a² +a³ +…+ aⁿ

* Xét a = 1 ta có:

Sn = 1+ 1 + 1²+ 1³+ 1⁴+… +1ⁿ = (n +1) .1 = n + 1

* Xét a ≠ 1 ta có:

=> Sn = 1 + a + a² +a³ +…+ aⁿ

=> a.Sn =  a + a² +a³ +…+ aⁿ⁺¹

=> a.Sn – Sn = a^{n + 1} – 1

=> Sn(a – 1) = a^{n + 1} – 1

=> Sn =( a^{n + 1} – 1): (a- 1)

Áp dụng tính:

1. Cho A = 3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³

a) Thu gọn A.
b) Tìm x để 2A + 3 = 3^x

a) Thu gọn A.

A = 3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³

* Cách 1:

A + 1 = 1 +  3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³

^{=> A =} ( 3²⁰¹³ – 1) : (3 – 1)

=> A = (3²⁰¹⁴ – 1 ) : 2

     A  = (3²⁰¹⁴ – 3):2.
* Cách 2:
3.A = 3(3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³ )
Suy ra:
3A - A = 3(3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³) - ( 3¹ +3² + 3³ + 3⁴+3⁵+ … + 3²⁰¹³)
=> 2.A = 3²⁰¹⁴ – 3
=> A = (3²⁰¹⁴ – 3):2

b) Tìm x:

2A + 3 = 3^x

=>  2. (3²⁰¹⁴ – 3):2 + 3 = 3^x

=> (3²⁰¹⁴ – 3) + 3= 3^x

=> 3²⁰¹⁴  = 3^x

=> x= 2014

Dạng toán tìm các số tự nhiên a, b biết:

Tìm hai số tự nhiên a,b biết: 2^a + 124 = 5^b

^Giải

a) 2^a + 124 = 5^{b ( 1)}

* Xét a = 0, khi đó (1) trở thành:

 2⁰ + 124 = 5^b

Hay 5^b = 125 = 5³

Do đó a = 0 và b= 3.

* Xét a≥ 1.

Ta thấy vế trái(1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a≥ 1, a,b € N, điều này vô lý.

Kết luận: Vậy a= 0 và b = 3.
Tìm hai số tự nhiên a, b biết:  10^a + 168 = b²  (2)

* Xét a = 0, khi đó (2) trở thành

10⁰ + 168 = b²

169 = b²

b = 13 ( b € N)

Do đó: a = 0 , b = 13.

* Xét a≥1.

Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a≥1 thì 10^a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra  10^a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo 2 thì b² có chữ số tận cùng là 8. Điều này là không phù hợp.

Kết luận; vậy: a = 0 và b = 13.

Tìm x; y thuộc số tự nhiên biết: 35^x + 9 = 2.5^y (1)

Xét x = 0, khi đó (1) trở thành:

35⁰ + 9 = 2.5^y

1 + 9 = 2.5^y

2.5 = 2.5^y

y = 1

Do đó: x = 0 và y = 1

Xét x≥1.

Ta có 2.5^y , chữ số tận cùng luôn là 0. Mặt khác 35^x + 9 có chữ số tận cùng khác 0 ( chữ số tận cùng4 hoặc 9).