TOÁN 6 - CHUYÊN ĐỀ ƯỚC SỐ CHUNG

* Lý thuyết nâng cao

* Đề thi toán chuyên đề

* Các số liên tiếp chia hết

166. Tìm số tự nhiên a, biết rằng 91 ⁞ a và 10 < a < 50.
Giải:

Vì 91 ⁞ a nên a là ước số của 91.

Ta có: Ư(91) = {1; 7; 13; 91}

Vì 10< a < 50 nên a = 13 thỏa điều kiện đề bài.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 13.

168.Trong một phép chia, số bị chia bằng 86, số dư bằng 9.

Tìm số chia và thương.

Giải:

a = k.q + r ; 0 < r < q

Áp dụng: 86 = k.q + 9 và 9 < q

=> k.q = 77 và 9 < q

=> q là ước số của 77 và 9 < q

Ư(77) = {1;7;11;77}

=> q = { 11; 77}

Nếu q = 11 thì k = 7

hoặc q = 77 thì k = 1

vậy: 

- Thương cần tìm là 11 và số chia là 7

Hoặc

- Thương cần tìm là 77 và số chia là 1.

Chứng minh rằng: tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

Gọi T là tích các số liên tiếp.
Gọi a là số tự nhiên bất kỳ.

Ta sẽ chứng minh:

                        T = a(a + 1) chia hết cho 2.
Chứng minh  T⁞2

* Khi a:2 = 2k + 0 => a +0 =  2k + 0 =  2k⁞2 => T⁞2  

* Khi a:2  = 2k + 1 => a +1 = (2k +1) + 1 = 2k +2 = 2(k+1) ⁞2

=> T⁞2.

            Vậy hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Chứng minh rằng: tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.

Ta sẽ chứng minh:

                        T = a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 6.

=> T ⁞6 = T ⁞2.3.

Chứng minh  T⁞2

* Khi a:2 = 2k + 0 => a +0 =  2k + 0 =>  2k⁞2 => T⁞2  

* Khi a:2  = 2k + 1 => a +1 = (2k +1) + 1 => 2k +2 = 2(k+1) ⁞2

=> T⁞2.

            Vậy hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Với k € N

  Với a chẵn hoặc a lẻ thì T đều chia hết cho 2.

Chứng minh T⁞3

*Khi  a : 3 = 3k + 0 =>   a +0  = 3k + 0      =  3(k + 0)⁞ 3=> T ⁞3

* Khi a: 3  =  3k + 1 =>  a+ 2  = 3k + 1 + 3 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3

* Khi a: 3   = 3k + 2 =>  a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3
Với k € N.

Vậy 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.3 hay chia hết cho 6.

Chứng minh rằng: tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

                        T = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 24.

Ta sẽ chứng minh:T⁞2; T⁞3; T⁞4 => T⁞2.3.4 => T⁞24.

Gọi T là tích các số liên tiếp.

Gọi a là số tự nhiên bất kỳ.

Chứng minh  T⁞2

* Khi a:2 = 2k + 0 => a +0 =  2k + 0 =>  2k⁞2 => T⁞2  

* Khi a:2  = 2k + 1 => a +1 = (2k +1) + 1 => 2k +2 = 2(k+1) ⁞2

=> T⁞2.

            Vậy hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Với k € N

Chứng minh T⁞3

*Khi  a : 3 = 3k + 0 =>   a +0  = 3k + 0      =  3(k + 0)⁞ 3=> T ⁞3

* Khi a: 3  =  3k + 1 =>  a+ 2  = 3k + 1 + 3 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3

* Khi a: 3   = 3k + 2 =>  a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3
Với k € N.

Vậy 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.3 hay chia hết cho 6.

Chứng minh T⁞4

* Khi a:4 = 4k + 0 => a + 0 = 4k ⁞4 => T ⁞4

*Khi a: 4 = 4k + 1 => a + 3 =  4k + 1 +3 = 4(k +1)⁞4  =>T ⁞4

* Khi a:4 = 4k + 2 => a + 2 =  4k + 2 + 2= 4.(k + 1)⁞4=>T ⁞4

* Khi a: 4 = 4k + 3 => a + 1 = 4k + 3 + 1 => 4(k +1)⁞4  =>T ⁞4

=>T⁞4.6 = T⁞2.3.4=T

Chứng minh rằng: tích của năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.

Gọi T là tích các số liên tiếp.
Gọi a là số tự nhiên bất kỳ.

Ta sẽ chứng minh:

                        T = a(a + 1)(a+2)(a+3)(a+4) chia hết cho 120.

=> T⁞120 = T⁞2.3.4.5

Chứng minh  T⁞2

* Khi a:2 = 2k + 0 => a +0 =  2k + 0 =>  2k⁞2 => T⁞2  

* Khi a:2  = 2k + 1 => a +1 = (2k +1) + 1 => 2k +2 = 2(k+1) ⁞2

=> T⁞2.

            Vậy hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Với k € N

Chứng minh T⁞3

*Khi  a : 3 = 3k + 0 =>   a +0  = 3k + 0      =  3(k + 0)⁞ 3=> T ⁞3

* Khi a: 3  =  3k + 1 =>  a+ 2  = 3k + 1 + 3 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3

* Khi a: 3   = 3k + 2 =>  a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3
Với k € N.

Vậy 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.3 hay chia hết cho 6.

Chứng minh T⁞4

* Khi a:4 = 4k + 0 => a + 0 = 4k ⁞4 => T ⁞4

*Khi a: 4 = 4k + 1 => a + 3 =  4k + 1 +3 = 4(k +1)⁞4  =>T ⁞4

* Khi a:4 = 4k + 2 => a + 2 =  4k + 2 + 2= 4.(k + 1)⁞4=>T ⁞4

* Khi a: 4 = 4k + 3 => a + 1 = 4k + 3 + 1 => 4(k +1)⁞4  =>T ⁞4

Chứng minh T⁞5

* Khi a:5 = 5k + 0 => a + 0 = 5k ⁞4 => T ⁞4

*Khi a: 5 = 5k + 1 => a + 4 =  5k + 1 +4 = 5.(k +1)⁞5  =>T ⁞5

* Khi a:5 = 5k + 2 => a + 3 =  5k + 2 + 3= 5.(k + 1)⁞5=>T ⁞5

* Khi a:5 = 5k + 3 => a + 2 =  5k + 3 + 2 = 5.(k +1)⁞5  =>T ⁞5

* Khi a:5 = 5k + 4 => a + 1 =  5k + 4 + 1 = 5.(k +1)⁞5  =>T ⁞5

=> T⁞120 = T⁞2.3.4.5

Chứng minh rằng: tích của hai số chẵn tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8.
Gọi a là số tự nhiên tùy ý.

=> 2a và 2a + 2 là hai số chẵn liên tiếp.

T là tích hai số liên tiếp.

T = 2a(2a + 2) = 4a(a +1)

T⁞8 = T⁞2.4
T⁞2 với mọi a ( 2a⁞2)
* Khi a: 2 = 2k + 0 => 4a = 4.2k  = 8k⁞8 => T⁞8

* Khi a:2 = 2k + 1 => 4(a + 1) = 4(2k +1 + 1) = 4.2(k +1) 

=> 8(k +1) ⁞ 8.

Chứng minh rằng: tích của ba số chẵn tự nhiên liên tiếp chia hết cho 48.

Gọi a là số tự nhiên tùy ý.

=> 2a , 2(a + 1), 2(a +2) là ba số chẵn liên tiếp.

T là tích các số liên tiếp.

T = 2a.2(a + 1).2(a +2) = 8a(a +1)(a+2)

T⁞48 = T⁞2.3.8

Chứng minh T⁞2

T⁞2 với mọi a ( 2a⁞2)

* Khi a: 2 = 2k + 0 => 4a = 4.2k  = 8k⁞8 => T⁞8

* Khi a:2 = 2k + 1 => 4(a + 1) = 4(2k +1 + 1) = 4.2(k +1) 

=> 8(k +1) ⁞ 8.

Chứng minh T⁞3

*Khi  a : 3 = 3k + 0 =>   a +0  = 3k + 0      =  3(k + 0)⁞ 3=> T ⁞3

* Khi a: 3  =  3k + 1 =>  a+ 2  = 3k + 1 + 3 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3

* Khi a: 3   = 3k + 2 =>  a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)⁞3 => T ⁞3
Với k € N.

Chứng minh rằng: tích của bốn số chẵn tự nhiên liên tiếp chia hết cho 384.
Gọi a là số tự nhiên tùy ý.

=> 2a , 2(a + 1), 2(a +2), 2(a+3) là bốn số chẵn liên tiếp.

T là tích các số liên tiếp.

T = 2a.2(a + 1).2(a +2).2(a+3) = 16a(a +1)(a+2)(a +3)

T⁞384 = T⁞2.3.8.8

Chứng minh rằng: với mọi m,n thuộc N ta luôn có 
T= m.n(m² –n²) ⁞ 3.
Chia hết cho 3.

* Nếu m, n chia hết cho 3 => m.n⁞3

* Nếu m,n không chia hết cho 3 => m² và n² chia hết cho 3 cùng dư 1.( Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1).

=> T = m.n(m² –n²) ⁞ 3.

m,n,(m² –n²) ít nhất có một số chẵn chia hết cho 2 

=> T = m.n(m² –n²) ⁞ 2.

=>  m.n(m² –n²) ⁞ 3; m.n(m² –n²) ⁞ 2

=> T = m.n(m² –n²) ⁞ 6.

Vậy T chia hết cho 2; 3 và 6.

Tìm x € N để:

4n – 5⁞3

25n +35⁞3

5n +1 ⁞7

18n+3⁞7

Ta sẽ chứng minh:

                        T = a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 6.

            Ta sẽ chỉ ra: Nếu a chẵn hoặc a lẻ thì T đều chia hết cho 2; nếu a chia hết cho 3 hoặc không chia hết cho 3 (dư 1 hoặc dư 2) thì T đều chia hết cho 3. Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.

a