Chuyên đề dãy số chia hết cho một số

Câu 1:
A =  2¹ + 2² + 2³ +… + 2⁹

Chia hết cho 14.

A = (2+ 2²+ 2³) + (2⁴+ 2⁵+ 2⁶) + (2⁷+ 2⁸+ 2⁹)

A = (2+ 2²+ 2³) + 2³(2+ 2²+ 2³) + 2⁶(2+ 2²+ 2³)

A = (2+ 2²+ 2³)( 1 +2³ + 2⁶)

A = 14.( 1 +2³ + 2⁶)⁞14

Vậy A chia hết cho 14.

Câu 4:
A = 2²² + 2²⁴ + 2²⁶ + … + 2⁷⁸  + 2⁸⁰
Chia hết cho 5

Giải

A = 2²² + 2²⁴ + 2²⁶ + … + 2⁷⁸  + 2⁸⁰

Số số hạng: (80 - 22):4 + 1 = 40

A = (2²² + 2²⁴ ) + (2²⁶ + 2²⁸ ) + … + (2⁷⁸ + 2⁸⁰ )

A = 2²² (1+ 2²) +2²⁶ (1+ 2²) + … + 2⁷⁸ (1+ 2²)

A = 5(2²² + 2²⁶ + …+2⁷⁸ ) ⁞ 5

Vậy A chia hết cho 5.

Câu 7
Chứng tỏ rằng

5²⁰⁰¹ + 5²⁰⁰² + 5²⁰⁰³ chia hết cho 31.

Giải
Ta có:

A = 5²⁰⁰¹ + 5²⁰⁰² + 5²⁰⁰³ 

A = 5²⁰⁰¹ ( 1 + 5 + 5²)

A = 5²⁰⁰¹( 1 + 5 + 25)

= 31.5²⁰⁰¹ ⁞ 31

Vậy tổng A chia hết cho 31.

Câu 8

A = 5 + 5² +5³ + … + 5¹⁹  + 5²⁰

^{Là bội số của 30.}

A = 5 + 5² + 5³ +5⁴ + … + 5¹⁹ + 5²⁰

A= (5 + 5² )+ (5³ +5⁴ )+ … + (5¹⁹ + 5²⁰ )

A = (5 + 5² )+ 5²(5 + 5² )+ … +5¹⁸(5 + 5² )

A =30.( 1 +5² +…+5¹⁸)⁞30

A chia hết cho 30 vậy A là bội số của 30.

^{Câu 10:}

A = 1 + 4 + 4² + 4³+ 4⁴ + … + 4⁹⁸ + 4⁹⁹

^{A chia hết 5
Giải
Ta có:}

A = 1 + 4 + 4² + 4³+ 4⁴ + … + 4⁹⁸ + 4⁹⁹

A = (1 + 4) + (4² + 4³⁾ + … + (4⁹⁸ + 4⁹⁹)

A = (1 + 4) +  4²(1 + 4) + … + 4⁹⁸(1 + 4)

A= 5.( 1 + 4² + … +4⁹⁸) ⁞5

Vậy A chia hết cho 5.

Câu 12:

A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +… + 2⁹⁸+ 2⁹⁹  so sánh 2¹⁰⁰

A= 2⁰+ 2¹ +2² +2³ +2⁴ +… + 2⁹⁹

Ta có:

Nhân hai vế cho 2 ta được:

2.A = 2(2⁰+ 2¹ +2² +2³ +2⁴ +… + 2⁹⁹)

2.A = 2 + 2¹ +2² +2³ +2⁴ +… + 2¹⁰⁰

2.A  - A = (2 + 2¹ +2² +2³ +2⁴ +… + 2¹⁰⁰ ) – (1+ 2¹ +2² +2³ +2⁴ +…

 + 2⁹⁹ )

2.A  - A = 2¹⁰⁰ – 1

=> A = 2¹⁰⁰ – 1 < 2¹⁰⁰

=> A < B

Vậy A nhỏ hơn B

Câu 13:

M = 3⁵ +3⁶ +3⁷ + 3⁸ + 3⁹ + 3^{10 chia hết cho 91}

Phân tích: 91 = 81 + 9 +1 = 3⁴ + 3² +1

M = (3⁵ +3⁷ +3⁹ )+ (3⁶ + 3⁸ + 3¹⁰ )

M = 3⁵( 1 + 3² + 3⁴) + 3⁶( 1 + 3² + 3⁴)

M = ( 1 + 3² + 3⁴)( 3⁵ + 3⁶)

M = 91.( 3⁵ + 3⁶) ⁞91

Vậy M chia hết cho 91.

^{M chia hết cho 91}

Chứng minh rằng:

M  = (5⁵ – 5⁴ + 5³ ) ⁞7

Ta có:

5³.(5² - 5 + 1) ⁞7

5³.(25 - 5 + 1) ⁞7

5^3.21 ⁞7

 Chứng minh rằng:

M= 7⁶ + 7⁵ – 7⁴ ⁞ 11

M= 7⁴(7² + 7 – 1) ⁞ 11

M= 7⁴(49 + 7 - 1) ⁞ 11

M =55. 7⁴ ⁞ 11

Vậy M chia hết cho 11.
Chứng minh rằng:
M = 81⁷  - 27⁹ - 9¹³ Chia hết cho 45.

Giải:

Ta có:

* 27⁹

= ( 3.9)⁹

= 3⁹.9⁹

= 3.3⁸.9⁹

=3.(3²)⁴.9⁹

= 3.9⁴.9⁹

= 3.9¹³

* 81⁷

= (9²)⁷

= 9¹⁴

M = 81⁷  - 27⁹ - 9¹³

= 9¹⁴ + 3.9¹³ – 9¹³

=9¹³(9 – 3 – 1)

= 5.9¹² ⁞ 5 và 9

Vậy M chia hết cho 45.

Chứng minh rằng:

M = 8¹⁰ – 8⁹ – 8⁸ ⁞55

M = 8¹⁰ – 8⁹ – 8⁸ ⁞55

M = 8⁸(8² – 8 – 1) ⁞55

M = 55.8⁸ ⁞55

Vậy M chia hết cho 55.

Chứng minh rằng:

M = 3^{n + 2}  - 2^{n +2} + 3ⁿ – 2ⁿ ⁞10

M = 3^{n + 2}  - 2^{n +2} + 3ⁿ – 2ⁿ ⁞10

M = 3^{n + 2}  + 3ⁿ   - 2^{n +2}   - 2ⁿ  ⁞10

M =3ⁿ(3² +1) – 2^{n -1}(2³ + 2) ⁞10

M =3ⁿ.10 – 2^{n -1}.10 ⁞10 

M =10(3ⁿ – 2^{n -1}) ⁞10  Với m € N

Chứng minh rằng:

M = 3^{n + 3}  + 2^{n +3} + 3^{n +1} + 2^{n +2} ⁞6

M = 3^{n + 3} + 3^{n +1} + 2^{n +3} + 2^{n +2} ⁞6

M =3ⁿ(3³ +3) – 2^{n +} 1(2² + 2) ⁞6

M = 3ⁿ.30 – 2^{n -1}.6 ⁞6

M = 5.3ⁿ – 2^{n -1}.6 ⁞6 Với m € N